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¿Qué es el momento de inercia?
Momento de inerciatambién llamado momento de inercia de masa o masa angular (unidad SI kg m2) es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en la velocidad de rotación. Es el análogo rotacional de la masa. Es decir, la inercia con respecto a la rotación de un cuerpo rígido de revolución. Los momentos de inercia juegan un papel muy similar en la dinámica rotacional que la masa en la dinámica básica, determinando las relaciones entre el momento angular y la velocidad angular, el par y la aceleración angular, y varias otras cantidades. Si bien el procesamiento escalar simple es suficiente en muchas situaciones, el procesamiento tensorial más avanzado permite el análisis de sistemas complejos, como trompos y movimientos de giroscopio.
símbolo I y ocasionalmente j Comúnmente utilizado para representar el momento de inercia.
El momento de inercia de un objeto con respecto a un eje particular describe cuán difícil es cambiar su movimiento angular con respecto a ese eje. Por ejemplo, considere dos discos de igual masa (A y B). El disco A tiene un radio mayor que el disco B. Suponiendo un espesor y una distribución de masa uniformes, acelerar el disco A (cambiando su velocidad angular) requiere más esfuerzo. En este caso, el disco A tiene un momento de inercia mayor que el disco B. El momento de inercia tiene dos formas en forma escalar. I (usado cuando se conoce el eje de rotación) y un formato de tensor más general que no necesita conocer el eje de rotación.forma escalar I (a menudo llamado simplemente “momento de inercia”) se puede utilizar para analizar sucintamente muchos problemas simples en la dinámica de rotación, como objetos que ruedan por una pendiente o el movimiento de poleas. Por ejemplo, un bloque de cualquier forma se deslizará hacia abajo a la misma velocidad con poca fricción, pero un objeto rodante puede descender a diferentes velocidades dependiendo de su momento de inercia. Un aro tiene gran parte de su masa más alejada del eje de rotación, por lo que debe descender más lentamente que un disco sólido de la misma masa y radio, y moverse más rápido si el aro gira a la misma velocidad angular. Sin embargo, para problemas (más complejos) en los que el eje de rotación puede variar, el procesamiento escalar es inapropiado y se debe usar el procesamiento tensorial (aunque es posible utilizar atajos en situaciones especiales). Los ejemplos que requieren dicho procesamiento incluyen la posibilidad de cambiar la alineación de todos los objetos, como giroscopios, trompos e incluso satélites. El momento de inercia no debe confundirse con el momento polar de inercia. El momento polar de inercia es una medida de la capacidad de un objeto para resistir la torsión (torsión).
Fórmula del momento de inercia:
Una fórmula simple para el momento de inercia de cualquier objeto, ya sea un punto de masa o una estructura 3D, viene dada por:
donde “dm” es la masa de una parte muy pequeña del cuerpo, r es la distancia (perpendicular) desde el punto de masa al eje de rotación.
Análisis detallado
El momento de inercia (escalar) de un punto de masa que gira alrededor de un eje conocido se define como
yo es aditivo. Por lo tanto, para un cuerpo rígido formado por NORTE. punto de masa metrosI con distancia rI Para el eje de rotación, la suma I es igual a la suma de los momentos de inercia de la masa puntual.
La función de densidad de masa continua ?(r), I con respecto a un eje conocido se puede calcular integrando el cuadrado de la distancia (ponderada por la densidad de masa) desde un punto del cuerpo hasta el eje de rotación.
donde V es el volumen ocupado por el objeto. ? es la función de densidad espacial del objeto y
Coordenadas de un punto del cuerpo.
Diagrama para calcular I para un disco. k es 1/2 y r El radio utilizado para determinar los momentos. Basado únicamente en el análisis dimensional, I para objetos astigmáticos debe tomar la forma
dónde
METRO. es la masa
r El radio del objeto desde su centroide (a veces se usa la longitud del objeto en su lugar).
k es una constante adimensional llamada constante de inercia Depende del objeto que estés considerando. La constante de inercia se usa para tener en cuenta la diferencia en la ubicación de la masa desde el centro de rotación. Por ejemplo:
k = 1, un anillo delgado o un cilindro de paredes delgadas alrededor de su centro,
k = 2/5, una esfera sólida que rodea su centro
k = 1/2, un cilindro o disco alrededor de su centro.
teorema del eje paralelo
Una vez que se calcula el momento de inercia para la rotación alrededor del centro de masa del cuerpo rígido, se puede volver a calcular para todos los ejes de rotación paralelos sin recurrir a definiciones formales.Cuando el eje de rotación está desalineado r A partir del eje de rotación del centro de masa (por ejemplo, girar un disco alrededor de un punto de la circunferencia en lugar de pasar por su centro), el desplazamiento y el centro de inercia se relacionan de la siguiente manera:
Este teorema establece que regla del eje paralelo es un caso especial de Teorema de los ejes paralelos de Steiner.
teorema del eje vertical
El teorema del eje vertical para objetos planos se puede demostrar examinando las contribuciones a los momentos de inercia triaxiales de elementos de masa arbitrarios. A partir del momento de masa puntual, la contribución al momento de inercia de cada eje es:
complejo
Si un cuerpo se puede descomponer (física o conceptualmente) en varios componentes, el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje particular es la suma de los momentos de inercia de cada componente respecto al mismo eje particular.
Momento de inercia para formas generales
