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驴Qu茅 es el momento de inercia?
Momento de inerciatambi茅n llamado momento de inercia de masa o masa angular (unidad SI kg m2) es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en la velocidad de rotaci贸n. Es el an谩logo rotacional de la masa. Es decir, la inercia con respecto a la rotaci贸n de un cuerpo r铆gido de revoluci贸n. Los momentos de inercia juegan un papel muy similar en la din谩mica rotacional que la masa en la din谩mica b谩sica, determinando las relaciones entre el momento angular y la velocidad angular, el par y la aceleraci贸n angular, y varias otras cantidades. Si bien el procesamiento escalar simple es suficiente en muchas situaciones, el procesamiento tensorial m谩s avanzado permite el an谩lisis de sistemas complejos, como trompos y movimientos de giroscopio.
s铆mbolo I y ocasionalmente j Com煤nmente utilizado para representar el momento de inercia.
El momento de inercia de un objeto con respecto a un eje particular describe cu谩n dif铆cil es cambiar su movimiento angular con respecto a ese eje. Por ejemplo, considere dos discos de igual masa (A y B). El disco A tiene un radio mayor que el disco B. Suponiendo un espesor y una distribuci贸n de masa uniformes, acelerar el disco A (cambiando su velocidad angular) requiere m谩s esfuerzo. En este caso, el disco A tiene un momento de inercia mayor que el disco B. El momento de inercia tiene dos formas en forma escalar. I (usado cuando se conoce el eje de rotaci贸n) y un formato de tensor m谩s general que no necesita conocer el eje de rotaci贸n.forma escalar I (a menudo llamado simplemente “momento de inercia”) se puede utilizar para analizar sucintamente muchos problemas simples en la din谩mica de rotaci贸n, como objetos que ruedan por una pendiente o el movimiento de poleas. Por ejemplo, un bloque de cualquier forma se deslizar谩 hacia abajo a la misma velocidad con poca fricci贸n, pero un objeto rodante puede descender a diferentes velocidades dependiendo de su momento de inercia. Un aro tiene gran parte de su masa m谩s alejada del eje de rotaci贸n, por lo que debe descender m谩s lentamente que un disco s贸lido de la misma masa y radio, y moverse m谩s r谩pido si el aro gira a la misma velocidad angular. Sin embargo, para problemas (m谩s complejos) en los que el eje de rotaci贸n puede variar, el procesamiento escalar es inapropiado y se debe usar el procesamiento tensorial (aunque es posible utilizar atajos en situaciones especiales). Los ejemplos que requieren dicho procesamiento incluyen la posibilidad de cambiar la alineaci贸n de todos los objetos, como giroscopios, trompos e incluso sat茅lites. El momento de inercia no debe confundirse con el momento polar de inercia. El momento polar de inercia es una medida de la capacidad de un objeto para resistir la torsi贸n (torsi贸n).
F贸rmula del momento de inercia:
Una f贸rmula simple para el momento de inercia de cualquier objeto, ya sea un punto de masa o una estructura 3D, viene dada por:
donde “dm” es la masa de una parte muy peque帽a del cuerpo, r es la distancia (perpendicular) desde el punto de masa al eje de rotaci贸n.
An谩lisis detallado
El momento de inercia (escalar) de un punto de masa que gira alrededor de un eje conocido se define como
yo es aditivo. Por lo tanto, para un cuerpo r铆gido formado por NORTE. punto de masa metrosI con distancia rI Para el eje de rotaci贸n, la suma I es igual a la suma de los momentos de inercia de la masa puntual.
La funci贸n de densidad de masa continua ?(r), I con respecto a un eje conocido se puede calcular integrando el cuadrado de la distancia (ponderada por la densidad de masa) desde un punto del cuerpo hasta el eje de rotaci贸n.
donde V es el volumen ocupado por el objeto. ? es la funci贸n de densidad espacial del objeto y
Coordenadas de un punto del cuerpo.
Diagrama para calcular I para un disco. k es 1/2 y r El radio utilizado para determinar los momentos. Basado 煤nicamente en el an谩lisis dimensional, I para objetos astigm谩ticos debe tomar la forma
d贸nde
METRO. es la masa
r El radio del objeto desde su centroide (a veces se usa la longitud del objeto en su lugar).
k es una constante adimensional llamada constante de inercia Depende del objeto que est茅s considerando. La constante de inercia se usa para tener en cuenta la diferencia en la ubicaci贸n de la masa desde el centro de rotaci贸n. Por ejemplo:
k = 1, un anillo delgado o un cilindro de paredes delgadas alrededor de su centro,
k = 2/5, una esfera s贸lida que rodea su centro
k = 1/2, un cilindro o disco alrededor de su centro.
teorema del eje paralelo
Una vez que se calcula el momento de inercia para la rotaci贸n alrededor del centro de masa del cuerpo r铆gido, se puede volver a calcular para todos los ejes de rotaci贸n paralelos sin recurrir a definiciones formales.Cuando el eje de rotaci贸n est谩 desalineado r A partir del eje de rotaci贸n del centro de masa (por ejemplo, girar un disco alrededor de un punto de la circunferencia en lugar de pasar por su centro), el desplazamiento y el centro de inercia se relacionan de la siguiente manera:
Este teorema establece que regla del eje paralelo es un caso especial de Teorema de los ejes paralelos de Steiner.
teorema del eje vertical
El teorema del eje vertical para objetos planos se puede demostrar examinando las contribuciones a los momentos de inercia triaxiales de elementos de masa arbitrarios. A partir del momento de masa puntual, la contribuci贸n al momento de inercia de cada eje es:
complejo
Si un cuerpo se puede descomponer (f铆sica o conceptualmente) en varios componentes, el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje particular es la suma de los momentos de inercia de cada componente respecto al mismo eje particular.